Con “frattale” si indica un oggetto geometrico dotato di “omotetia interna”, cioè si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse (alcune sono più grandi, altre più piccole): il risultato di ciò è che ingrandendo una qualunque parte di un frattale, si ottiene una figura simile all’originale. Questa caratteristica è chiamata anche “auto similarità” o “autosomiglianza”.

Geometria frattale

Si dice geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel moto browniano e nelle galassie.

Storia

Il termine “frattale” fuconiato nel 1975 da Benoît Mandelbrot nel libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento “caotico”.

Etimologia

Il termine “frattale” deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione anche non intera.

Frattali in natura

La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero, soprattutto nell’abete, ogni ramo è approssimativamente simile all’intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all’originale, gli assomigliano comunque molto. Frattali sono presenti anche in natura, come nel profilo geomorfologico delle montagne, nelle nubi, nei cristalli di ghiaccio, in alcune foglie e fiori. Uno dei più classici esempi di frattali naturali, è la superficie del classico broccolo verde, che vedete in questa immagine:

Frattali lineari, non lineari ed aleatori

Esistono diverse famiglie di frattali. In base al grado dei termini dell’equazione generatrice contenuti nell’algoritmo, avremo quindi frattali lineari, frattali non lineari e frattali aleatori.

Frattali lineari

I frattali lineari sono quelli la cui equazione generatrice contiene solo termini del primo ordine e quindi l’algoritmo è lineare. Questi frattali possono essere studiati con l’ausilio di un immaginario duplicatore di figure: la fotocopiatrice a riduzioni, una macchina metaforica ideata da John E. Hutchinson, un matematico della Australian National University a Canberra. Questa macchina funziona più o meno come una normale fotocopiatrice con variatore di riduzione, ma ne differisce per il fatto di avere più lenti di riduzione, ciascuna delle quali può copiare l’originale collocato sulla macchina. Le lenti possono essere predisposte secondo diversi fattori di riduzione e le immagini ridotte possono essere collocate in qualsiasi posizione. La figura può quindi essere spostata, allungata, accorciata, riflessa, ruotata o trasformata in tutti i modi, purché le varie trasformazioni risultino essere delle omotetie e i segmenti di retta dell’originale rimangano dunque segmenti di retta.

Frattali non lineari

Esistono diversi tipi di frattali non lineari, la cui equazione generatrice è di ordine superiore a 1. Uno di questi si basa sulla trasformazione quadratica ed è stato oggetto di attenzione particolare, poiché produce una grande ricchezza di forme geometriche a partire da un algoritmo piuttosto semplice ed è strettamente collegato all’odierna teoria del caos. La teoria su cui si basa questo frattale quadratico fu descritta per la prima volta nel 1918 dal matematico francese Gaston Julia, che si trovava allora in un ospedale militare, convalescente delle ferite riportate durante la prima guerra mondiale. Tanto le sue ricerche quanto quelle contemporanee del suo accanito rivale Pierre Fatou, e basate sul comportamento della trasformazione g ( z ) = z 2 + c furono presto dimenticate fino alla rielaborazione da parte di Benoît Mandelbrot. L’impresa intellettuale di Julia e Fatou è notevole perché, non esistendo a quel tempo calcolatori elettronici, essi potevano contare solamente sulle proprie capacità di astrazione.

Frattali aleatori

I frattali finora esaminati sono deterministici. Benché i processi aleatori, come per esempio il lancio di un dado, possano produrre immagini frattali, essi non hanno alcun effetto sulla forma frattale finale. La situazione è ben diversa per un’altra classe di frattali, i cosiddetti frattali aleatori. Per generare un frattale di questo tipo si può cominciare con un triangolo giacente su un piano arbitrario. I punti medi di ciascun lato del triangolo sono collegati tra loro e il triangolo è così diviso in quattro triangoli più piccoli. Ciascun punto medio è poi alzato o abbassato di una quantità scelta a caso. Lo stesso procedimento è applicato a ciascuno dei triangoli più piccoli e il processo è ripetuto all’infinito. All’aumentare del numero delle iterazioni, comincia a formarsi una superficie sempre più ricca di particolari. In questo «metodo dello spostamento dei punti medi», l’entità aleatoria dello spostamento dei punti medi è retta da una legge di distribuzione che può essere modificata fino a ottenere una buona approssimazione della superficie di cui si vuol costruire il modello. Per un modello di una superficie relativamente liscia, le trasformazioni usate dovrebbero prevedere una regola per cui gli spostamenti dei punti medi diventino piccolissimi già dopo poche iterazioni. Una regola del genere aggiunge solo piccole prominenze sullo sviluppo complessivo. Per rappresentare invece una superficie accidentata, come ad esempio la topografia di una catena montuosa, è meglio far diminuire di poco l’entità degli spostamenti a ogni iterazione. Questo metodo per costruire superfici ha molte applicazioni. È stato impiegato per ottenere modelli dell’erosione del suolo e per analizzare le registrazioni sismiche al fine di capire i cambiamenti nelle zone di faglia. Questo concetto è stato usato da Richard E. Voss, collega di Mandelbrot al Thomas J. Watson Research Center, per generare immagini molto realistiche di pianeti, satelliti, nubi e montagne.

Esempi di frattale

Di seguito riportiamo alcuni affascinanti esempi di frattale:

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Dott. Emilio Alessio Loiacono
Medico Chirurgo
Direttore dello Staff di Medicina OnLine

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